eqsolver

eqsolver RUST的方程求解器和優化庫

該銹庫旨在求解方程並優化目標函數。

該庫是被動維護的，這意味著不會添加其他功能。但是，GITHUB上的問題將得到回答和解決。

歡迎對該圖書館的貢獻和反饋！

支持的方法

以下方法可在庫中使用。他們的描述使用最大的可能域和代碼域的函數，即RN。但是，RN的任何（舉止良好）子集也可以。此外，使用多元輸入或大量輸出的方法將Rust Nalgebra的線性代數庫利用。

單變量

牛頓 - 拉夫森的方法

在給定其導數DF（x）和初始猜測的情況下，找到單變量函數F（x）的根。該方法具有二次收斂速率。

牛頓 - 拉夫森的方法有有限的差異

考慮到根的初始猜測，通過使用有限差異近似其導數DF（x）來找到單變量函數f（x）的根。該方法具有二次收斂速率，但需要比非限定版本的計算更多的計算，從而使牆壁時間稍長。

割法方法

在給定兩個唯一的啟動值的情況下，找到單變量函數f（x）的根。該方法的收斂速率略低（等於黃金比率），但是每個迭代的功能呼叫只能使其壁時間有時低於Newton-Raphson方法。

多變量

牛頓 - 拉夫森的方法（有和沒有有限差異）

對於函數f：rn→rn，此方法找到x，使得f（x）是零向量，它等同於求解具有n個未知數的n個方程系統。

該方法有兩個版本，一種要求給出雅各布矩陣，而其他則需要使用有限的差異來近似。因此，後一個版本的壁時間稍長。兩種方法都需要初始猜測。

對於某些不良問題，此方法將失敗。有關較慢但更健壯的方法，請參見下面的Levenberg-Marquardt方法。

高斯 - 紐頓的方法（有和沒有有限差異）

對於函數f：rm→rn，此方法找到x，使得f（x）是零向量，它等效於求解具有m未知數的n個方程系統。這是通過在每次迭代中解決最小二乘問題來完成的，這使該方法的牆壁時間比牛頓 - 拉夫森的方法稍長。

該方法有兩個版本，一種要求給出雅各布矩陣，而其他則需要使用有限的差異來近似。因此，後一個版本的壁時間稍長。兩種方法都需要初始猜測。

對於某些不良問題，此方法將失敗。有關較慢但更健壯的方法，請參見下面的Levenberg-Marquardt方法。

Levenberg-Marquardt的方法（有和沒有有限差異）

對於函數f：rm→rn，此方法找到x，使得f（x）是零向量，它等效於求解具有m未知數的n個方程系統。這是通過在每次迭代中求解衰減最小二乘問題（比通常最小二乘問題的計算）來完成的，這使該方法的牆壁時間比高斯·紐頓的方法稍長。

該方法有兩個版本，一種要求給出雅各布矩陣，而其他則需要使用有限的差異來近似。因此，後一個版本的壁時間稍長。兩種方法都需要初始猜測。

目標功能的全球優化者

粒子群優化

對於函數f：rn→r，此方法找到x，使得f（x）<= f（y）對於所有y，即全局最小值。此方法需要一個初始猜測和全局最小值的界限。

如果知道參數的界限，請使用此方法。

跨透明拷貝方法

對於函數f：rn→r，此方法找到x，使得f（x）<= f（y）對於所有y，即全局最小值。此方法需要標準偏差的初始猜測和RN向量（每個參數的不確定性）。

如果您不知道參數的界限，請使用此方法，但知道每個參數的不確定程度。

普通的微分方程（或它們的系統）

有一個用於普通微分方程（ODE）的單個struct ，可以修改（使用構建器模式）使用以下步驟方法之一：

歐拉前進

此方法需要一個調用與方程相對應的函數，因此很快。但是，它的準確性順序為1，並且對於某些功能是不穩定的。

Heun的方法（Runge-Kutta 2）

該方法需要對與方程相對應的函數的兩個調用，因此比Euler向前慢。該方法的準確度為2。

runge-kutta 4（默認）

該方法需要四個調用與方程相對應的函數的調用，因此比Heun的方法慢。該方法的準確度為4。 ode求解器將此方法用作默認值。

例子

牛頓 - 拉夫森（Newton-Raphson）方法的示例有限差異。

 use eqsolver :: single_variable :: FDNewton ;

let f = | x : f64 | x . exp ( ) - 1. /x ; // e^x = 1/x
let solution = FDNewton :: new ( f ) . solve ( 0.5 ) ; // Starting guess is 0.5

牛頓 - 拉夫森（Newton-Raphson）方法的示例，具有有限的方程式差異

 use eqsolver :: multivariable :: MultiVarNewtonFD ;
use nalgebra :: { vector , Vector2 } ;

// Want to solve x^2 - y = 1 and xy = 2
let f = | v : Vector2 < f64 > | vector ! [ v [ 0 ] . powi ( 2 ) - v [ 1 ] - 1. , v [ 0 ] * v [ 1 ] - 2. ] ;

let solution = MultiVarNewtonFD :: new ( f ) . solve ( vector ! [ 1. , 1. ] ) ; // Starting guess is (1, 1)

單個一階ODE的解決方案的示例

 use eqsolver :: ODESolver ;

let f = | t : f64 , y : f64 | t * y ; // y' = f(t, y) = ty
let ( x0 , y0 ) = ( 0. , 0.2 ) ;
let x_end = 2. ;
let step_size = 1e-3 ;

let solution = ODESolver :: new ( f , x0 , y0 , step_size ) . solve ( x_end ) ;

用Levenberg-Marquardt方法解決非線性最小二問題的示例

 use eqsolver :: multivariable :: LevenbergMarquardtFD ;
use nalgebra :: { vector , Vector2 } ;

let c0 = [ 3. , 5. , 3. ] ;
let c1 = [ 1. , 0. , 4. ] ;
let c2 = [ 6. , 2. , 2. ] ;

// Function from R2 to R3
let f = | v : Vector2 < f64 > | {
    vector ! (
        ( v [ 0 ] - c0 [ 0 ] ) . powi ( 2 ) + ( v [ 1 ] - c0 [ 1 ] ) . powi ( 2 ) - c0 [ 2 ] * c0 [ 2 ] ,
        ( v [ 0 ] - c1 [ 0 ] ) . powi ( 2 ) + ( v [ 1 ] - c1 [ 1 ] ) . powi ( 2 ) - c1 [ 2 ] * c1 [ 2 ] ,
        ( v [ 0 ] - c2 [ 0 ] ) . powi ( 2 ) + ( v [ 1 ] - c2 [ 1 ] ) . powi ( 2 ) - c2 [ 2 ] * c2 [ 2 ] ,
    )
} ;

let solution_lm = LevenbergMarquardtFD :: new ( f )
    . solve ( vector ! [ 4.5 , 2.5 ] ) // Guess
    . unwrap ( ) ;

在rastrigin函數上使用全局優化器的示例

 use eqsolver :: global_optimisers :: { CrossEntropy , ParticleSwarm } ;
use nalgebra :: SVector ;
use std :: f64 :: consts :: PI ;

const SIZE : usize = 10 ;
let rastrigin = | v : SVector < f64 , SIZE > | {
    v . fold ( 10. * SIZE as f64 , |acc , x| {
        acc + x * x - 10. * f64 :: cos ( 2. * PI * x )
    } )
} ;

let bounds = SVector :: repeat ( 10. ) ;
let standard_deviations = SVector :: repeat ( 10. ) ;
let guess = SVector :: repeat ( 5. ) ;

let opt_pso = ParticleSwarm :: new ( rastrigin , -bounds , bounds ) . solve ( guess ) ;
let opt_ce = CrossEntropy :: new ( rastrigin )
    . with_std_dev ( standard_deviations )
    . solve ( guess ) ;

有關更多示例，請參見示例目錄。