eqsolver

eqsolver RUST的方程求解器和优化库

该锈库旨在求解方程并优化目标函数。

该库是被动维护的，这意味着不会添加其他功能。但是，GITHUB上的问题将得到回答和解决。

欢迎对该图书馆的贡献和反馈！

支持的方法

以下方法可在库中使用。他们的描述使用最大的可能域和代码域的函数，即RN。但是，RN的任何（举止良好）子集也可以。此外，使用多元输入或大量输出的方法将Rust Nalgebra的线性代数库利用。

单变量

牛顿 - 拉夫森的方法

在给定其导数DF（x）和初始猜测的情况下，找到单变量函数F（x）的根。该方法具有二次收敛速率。

牛顿 - 拉夫森的方法有有限的差异

考虑到根的初始猜测，通过使用有限差异近似其导数DF（x）来找到单变量函数f（x）的根。该方法具有二次收敛速率，但需要比非限定版本的计算更多的计算，从而使墙壁时间稍长。

割法方法

在给定两个唯一的启动值的情况下，找到单变量函数f（x）的根。该方法的收敛速率略低（等于黄金比率），但是每个迭代的功能呼叫只能使其壁时间有时低于Newton-Raphson方法。

多变量

牛顿 - 拉夫森的方法（有和没有有限差异）

对于函数f：rn→rn，此方法找到x，使得f（x）是零向量，它等同于求解具有n个未知数的n个方程系统。

该方法有两个版本，一种要求给出雅各布矩阵，而其他则需要使用有限的差异来近似。因此，后一个版本的壁时间稍长。两种方法都需要初始猜测。

对于某些不良问题，此方法将失败。有关较慢但更健壮的方法，请参见下面的Levenberg-Marquardt方法。

高斯 - 纽顿的方法（有和没有有限差异）

对于函数f：rm→rn，此方法找到x，使得f（x）是零向量，它等效于求解具有m未知数的n个方程系统。这是通过在每次迭代中解决最小二乘问题来完成的，这使该方法的墙壁时间比牛顿 - 拉夫森的方法稍长。

该方法有两个版本，一种要求给出雅各布矩阵，而其他则需要使用有限的差异来近似。因此，后一个版本的壁时间稍长。两种方法都需要初始猜测。

对于某些不良问题，此方法将失败。有关较慢但更健壮的方法，请参见下面的Levenberg-Marquardt方法。

Levenberg-Marquardt的方法（有和没有有限差异）

对于函数f：rm→rn，此方法找到x，使得f（x）是零向量，它等效于求解具有m未知数的n个方程系统。这是通过在每次迭代中求解衰减最小二乘问题（比通常最小二乘问题的计算）来完成的，这使该方法的墙壁时间比高斯·纽顿的方法稍长。

该方法有两个版本，一种要求给出雅各布矩阵，而其他则需要使用有限的差异来近似。因此，后一个版本的壁时间稍长。两种方法都需要初始猜测。

目标功能的全球优化者

粒子群优化

对于函数f：rn→r，此方法找到x，使得f（x）<= f（y）对于所有y，即全局最小值。此方法需要一个初始猜测和全局最小值的界限。

如果知道参数的界限，请使用此方法。

跨透明拷贝方法

对于函数f：rn→r，此方法找到x，使得f（x）<= f（y）对于所有y，即全局最小值。此方法需要标准偏差的初始猜测和RN向量（每个参数的不确定性）。

如果您不知道参数的界限，请使用此方法，但知道每个参数的不确定程度。

普通的微分方程（或它们的系统）

有一个用于普通微分方程（ODE）的单个struct ，可以修改（使用构建器模式）使用以下步骤方法之一：

欧拉前进

此方法需要一个调用与方程相对应的函数，因此很快。但是，它的准确性顺序为1，并且对于某些功能是不稳定的。

Heun的方法（Runge-Kutta 2）

该方法需要对与方程相对应的函数的两个调用，因此比Euler向前慢。该方法的准确度为2。

runge-kutta 4（默认）

该方法需要四个调用与方程相对应的函数的调用，因此比Heun的方法慢。该方法的准确度为4。ode求解器将此方法用作默认值。

例子

牛顿 - 拉夫森（Newton-Raphson）方法的示例有限差异。

 use eqsolver :: single_variable :: FDNewton ;

let f = | x : f64 | x . exp ( ) - 1. /x ; // e^x = 1/x
let solution = FDNewton :: new ( f ) . solve ( 0.5 ) ; // Starting guess is 0.5

牛顿 - 拉夫森（Newton-Raphson）方法的示例，具有有限的方程式差异

 use eqsolver :: multivariable :: MultiVarNewtonFD ;
use nalgebra :: { vector , Vector2 } ;

// Want to solve x^2 - y = 1 and xy = 2
let f = | v : Vector2 < f64 > | vector ! [ v [ 0 ] . powi ( 2 ) - v [ 1 ] - 1. , v [ 0 ] * v [ 1 ] - 2. ] ;

let solution = MultiVarNewtonFD :: new ( f ) . solve ( vector ! [ 1. , 1. ] ) ; // Starting guess is (1, 1)

单个一阶ODE的解决方案的示例

 use eqsolver :: ODESolver ;

let f = | t : f64 , y : f64 | t * y ; // y' = f(t, y) = ty
let ( x0 , y0 ) = ( 0. , 0.2 ) ;
let x_end = 2. ;
let step_size = 1e-3 ;

let solution = ODESolver :: new ( f , x0 , y0 , step_size ) . solve ( x_end ) ;

用Levenberg-Marquardt方法解决非线性最小二问题的示例

 use eqsolver :: multivariable :: LevenbergMarquardtFD ;
use nalgebra :: { vector , Vector2 } ;

let c0 = [ 3. , 5. , 3. ] ;
let c1 = [ 1. , 0. , 4. ] ;
let c2 = [ 6. , 2. , 2. ] ;

// Function from R2 to R3
let f = | v : Vector2 < f64 > | {
    vector ! (
        ( v [ 0 ] - c0 [ 0 ] ) . powi ( 2 ) + ( v [ 1 ] - c0 [ 1 ] ) . powi ( 2 ) - c0 [ 2 ] * c0 [ 2 ] ,
        ( v [ 0 ] - c1 [ 0 ] ) . powi ( 2 ) + ( v [ 1 ] - c1 [ 1 ] ) . powi ( 2 ) - c1 [ 2 ] * c1 [ 2 ] ,
        ( v [ 0 ] - c2 [ 0 ] ) . powi ( 2 ) + ( v [ 1 ] - c2 [ 1 ] ) . powi ( 2 ) - c2 [ 2 ] * c2 [ 2 ] ,
    )
} ;

let solution_lm = LevenbergMarquardtFD :: new ( f )
    . solve ( vector ! [ 4.5 , 2.5 ] ) // Guess
    . unwrap ( ) ;

在rastrigin函数上使用全局优化器的示例

 use eqsolver :: global_optimisers :: { CrossEntropy , ParticleSwarm } ;
use nalgebra :: SVector ;
use std :: f64 :: consts :: PI ;

const SIZE : usize = 10 ;
let rastrigin = | v : SVector < f64 , SIZE > | {
    v . fold ( 10. * SIZE as f64 , |acc , x| {
        acc + x * x - 10. * f64 :: cos ( 2. * PI * x )
    } )
} ;

let bounds = SVector :: repeat ( 10. ) ;
let standard_deviations = SVector :: repeat ( 10. ) ;
let guess = SVector :: repeat ( 5. ) ;

let opt_pso = ParticleSwarm :: new ( rastrigin , -bounds , bounds ) . solve ( guess ) ;
let opt_ce = CrossEntropy :: new ( rastrigin )
    . with_std_dev ( standard_deviations )
    . solve ( guess ) ;

有关更多示例，请参见示例目录。