eqsolver

eqsolver - Perpustakaan Solver dan Optimalisasi Persamaan untuk Rust

Perpustakaan karat ini ditujukan untuk menyelesaikan persamaan secara numerik dan mengoptimalkan fungsi objektif.

Perpustakaan diperiksa secara pasif , yang berarti tidak ada fitur lain yang akan ditambahkan. Namun, masalah pada github akan dijawab dan diselesaikan.

Kontribusi dan umpan balik ke perpustakaan ini lebih dari disambut!

Metode yang didukung

Metode berikut tersedia untuk digunakan di perpustakaan. Deskripsi mereka menggunakan domain dan codomain terbesar untuk fungsi, yaitu RN. Namun, setiap subset (perilaku baik) RN juga berfungsi. Selain itu, metode yang menggunakan input multivariat atau output sangat menggunakan pustaka aljabar linier untuk karat nalgebra.

Variabel tunggal

Metode Newton-Raphson

Menemukan akar fungsi univariat f (x) yang diberikan df turunannya (x) dan tebakan awal. Metode ini memiliki tingkat konvergensi kuadratik.

Metode Newton-Raphson dengan perbedaan yang terbatas

Menemukan akar fungsi univariat f (x) dengan mendekati df turunannya (x) menggunakan perbedaan terbatas, mengingat tebakan awal root. Metode ini memiliki tingkat konvergensi kuadratik tetapi membutuhkan sedikit lebih banyak perhitungan daripada versi non-perbedaan-balik, membuat waktu dinding sedikit lebih lama.

Metode Singkat

Menemukan akar fungsi univariat f (x) yang diberikan dua nilai awal yang unik. Metode ini memiliki tingkat konvergensi yang sedikit lebih rendah (sama dengan rasio emas) tetapi hanya satu fungsi panggilan per iterasi membuat waktu dindingnya kadang-kadang lebih rendah dari metode Newton-Raphson.

Multivariat

Metode Newton-Raphson (dengan dan tanpa perbedaan yang terbatas)

Untuk fungsi F: RN → RN, metode ini menemukan x sedemikian rupa sehingga f (x) adalah vektor nol, yang setara dengan memecahkan sistem persamaan N dengan n yang tidak diketahui.

Ada dua versi metode ini, satu membutuhkan matriks Jacobian untuk diberikan dan yang lainnya mendekati itu menggunakan perbedaan yang terbatas. Versi terakhir, oleh karena itu, memiliki waktu dinding yang sedikit lebih lama. Kedua metode membutuhkan tebakan awal.

Untuk masalah buruk tertentu, metode ini akan gagal. Untuk metode yang lebih lambat tetapi lebih kuat, lihat metode Levenberg-Marquardt di bawah ini.

Metode Gauss-Newton (dengan dan tanpa perbedaan yang terbatas)

Untuk fungsi f: rm → rn, metode ini menemukan x sedemikian rupa sehingga f (x) adalah vektor nol, yang setara dengan memecahkan sistem persamaan N dengan m yang tidak diketahui. Ini dilakukan dengan memecahkan masalah yang paling sedikit persegi di setiap iterasi yang membuat waktu dinding metode ini sedikit lebih lama dari metode Newton-Raphson.

Ada dua versi metode ini, satu membutuhkan matriks Jacobian untuk diberikan dan yang lainnya mendekati itu menggunakan perbedaan yang terbatas. Versi terakhir, oleh karena itu, memiliki waktu dinding yang sedikit lebih lama. Kedua metode membutuhkan tebakan awal.

Untuk masalah buruk tertentu, metode ini akan gagal. Untuk metode yang lebih lambat tetapi lebih kuat, lihat metode Levenberg-Marquardt di bawah ini.

Metode Levenberg-Marquardt (dengan dan tanpa perbedaan yang terbatas)

Untuk fungsi f: rm → rn, metode ini menemukan x sedemikian rupa sehingga f (x) adalah vektor nol, yang setara dengan memecahkan sistem persamaan N dengan m yang tidak diketahui. Ini dilakukan dengan memecahkan masalah yang paling terkecil (lebih banyak perhitungan daripada masalah yang paling sedikit square) di setiap iterasi yang membuat waktu dinding metode ini sedikit lebih lama dari metode Gauss-Newton.

Ada dua versi metode ini, satu membutuhkan matriks Jacobian untuk diberikan dan yang lainnya mendekati itu menggunakan perbedaan yang terbatas. Versi terakhir, oleh karena itu, memiliki waktu dinding yang sedikit lebih lama. Kedua metode membutuhkan tebakan awal.

Pengoptimal global fungsi objektif

Optimasi Partikel berkerumun

Untuk fungsi f: rn → r, metode ini menemukan x sedemikian rupa sehingga f (x) <= f (y) untuk semua y, yaitu minimum global. Metode ini membutuhkan tebakan dan batas awal yang ada minimum global.

Gunakan metode ini jika Anda mengetahui batas -batas parameter.

Metode Cross-Entropy

Untuk fungsi f: rn → r, metode ini menemukan x sedemikian rupa sehingga f (x) <= f (y) untuk semua y, yaitu minimum global. Metode ini membutuhkan tebakan awal dan vektor RN standar deviasi (ketidakpastian setiap parameter).

Gunakan metode ini jika Anda tidak tahu batas -batas parameter tetapi tahu seberapa tidak pasti setiap parameter.

Persamaan diferensial biasa (atau sistemnya)

Ada satu struct untuk persamaan diferensial biasa (ODE) yang dapat dimodifikasi (menggunakan pola pembangun) untuk menggunakan salah satu dari metode langkah berikut:

Euler maju

Metode ini membutuhkan satu panggilan ke fungsi yang sesuai dengan persamaan dan dengan demikian cepat. Namun, ia memiliki urutan keakuratan 1 dan tidak stabil untuk fungsi tertentu.

Metode Heun (Runge-Kutta 2)

Metode ini membutuhkan dua panggilan ke fungsi yang sesuai dengan persamaan dan dengan demikian lebih lambat dari Euler ke depan. Metode ini memiliki urutan keakuratan 2.

Runge-Kutta 4 (default)

Metode ini membutuhkan empat panggilan ke fungsi yang sesuai dengan persamaan dan dengan demikian lebih lambat dari metode Heun. Metode ini memiliki urutan keakuratan 4. Pemecah Ode menggunakan metode ini sebagai default.

Contoh

Contoh metode Newton-Raphson dengan perbedaan yang terbatas.

 use eqsolver :: single_variable :: FDNewton ;

let f = | x : f64 | x . exp ( ) - 1. /x ; // e^x = 1/x
let solution = FDNewton :: new ( f ) . solve ( 0.5 ) ; // Starting guess is 0.5

Contoh metode Newton-Raphson dengan perbedaan terbatas untuk sistem persamaan

 use eqsolver :: multivariable :: MultiVarNewtonFD ;
use nalgebra :: { vector , Vector2 } ;

// Want to solve x^2 - y = 1 and xy = 2
let f = | v : Vector2 < f64 > | vector ! [ v [ 0 ] . powi ( 2 ) - v [ 1 ] - 1. , v [ 0 ] * v [ 1 ] - 2. ] ;

let solution = MultiVarNewtonFD :: new ( f ) . solve ( vector ! [ 1. , 1. ] ) ; // Starting guess is (1, 1)

Contoh solusi untuk odes orde pertama tunggal

 use eqsolver :: ODESolver ;

let f = | t : f64 , y : f64 | t * y ; // y' = f(t, y) = ty
let ( x0 , y0 ) = ( 0. , 0.2 ) ;
let x_end = 2. ;
let step_size = 1e-3 ;

let solution = ODESolver :: new ( f , x0 , y0 , step_size ) . solve ( x_end ) ;

Contoh memecahkan masalah kuadrat terkecil non-linear dengan metode levenberg-marquardt

 use eqsolver :: multivariable :: LevenbergMarquardtFD ;
use nalgebra :: { vector , Vector2 } ;

let c0 = [ 3. , 5. , 3. ] ;
let c1 = [ 1. , 0. , 4. ] ;
let c2 = [ 6. , 2. , 2. ] ;

// Function from R2 to R3
let f = | v : Vector2 < f64 > | {
    vector ! (
        ( v [ 0 ] - c0 [ 0 ] ) . powi ( 2 ) + ( v [ 1 ] - c0 [ 1 ] ) . powi ( 2 ) - c0 [ 2 ] * c0 [ 2 ] ,
        ( v [ 0 ] - c1 [ 0 ] ) . powi ( 2 ) + ( v [ 1 ] - c1 [ 1 ] ) . powi ( 2 ) - c1 [ 2 ] * c1 [ 2 ] ,
        ( v [ 0 ] - c2 [ 0 ] ) . powi ( 2 ) + ( v [ 1 ] - c2 [ 1 ] ) . powi ( 2 ) - c2 [ 2 ] * c2 [ 2 ] ,
    )
} ;

let solution_lm = LevenbergMarquardtFD :: new ( f )
    . solve ( vector ! [ 4.5 , 2.5 ] ) // Guess
    . unwrap ( ) ;

Contoh penggunaan pengoptimal global pada fungsi rastrigin

 use eqsolver :: global_optimisers :: { CrossEntropy , ParticleSwarm } ;
use nalgebra :: SVector ;
use std :: f64 :: consts :: PI ;

const SIZE : usize = 10 ;
let rastrigin = | v : SVector < f64 , SIZE > | {
    v . fold ( 10. * SIZE as f64 , |acc , x| {
        acc + x * x - 10. * f64 :: cos ( 2. * PI * x )
    } )
} ;

let bounds = SVector :: repeat ( 10. ) ;
let standard_deviations = SVector :: repeat ( 10. ) ;
let guess = SVector :: repeat ( 5. ) ;

let opt_pso = ParticleSwarm :: new ( rastrigin , -bounds , bounds ) . solve ( guess ) ;
let opt_ce = CrossEntropy :: new ( rastrigin )
    . with_std_dev ( standard_deviations )
    . solve ( guess ) ;

Untuk lebih banyak contoh, silakan lihat Direktori Contoh.