eqsolver

eqsolver - محلل معادلة ومكتبة التحسين للصدأ

تهدف مكتبة الصدأ هذه إلى حل المعادلات العددية وتحسين الوظائف الموضوعية.

يتم صيانة المكتبة بشكل سلبي ، مما يعني أنه لن تتم إضافة ميزات أخرى. ومع ذلك ، سيتم الرد على القضايا على github وحلها.

المساهمات والتعليقات على هذه المكتبة أكثر من موضع ترحيب!

الأساليب المدعومة

الطرق التالية متاحة للاستخدام في المكتبة. تستخدم أوصافهم أكبر مجال ممكن و codomain للوظائف ، وهو RN. ومع ذلك ، فإن أي مجموعة فرعية (رفاهية) من RN تعمل أيضًا. بالإضافة إلى ذلك ، فإن الطرق التي تستخدم الإدخال أو الإخراج متعدد المتغيرات تستخدم بشكل كبير مكتبة الجبر الخطي لصالح الصدأ Nalgebra.

متغير واحد

طريقة نيوتن رافسون

يجد جذر وظيفة أحادية المتغير F (x) بالنظر إلى مشتق DF (x) وتخمين أولي. هذه الطريقة لها معدل تربيعي من التقارب.

طريقة نيوتن رافسون مع اختلافات محدودة

يجد جذر دالة أحادية المتغير F (x) عن طريق تقريب مشتقها DF (x) باستخدام الاختلافات المحدودة ، بالنظر إلى تخمين أولي للجذر. تحتوي هذه الطريقة على معدل تقارب تربيعي ولكنه يتطلب حسابًا أكثر بقليل من إصدار الفرق غير المحيطة ، مما يجعل وقت الجدار أطول قليلاً.

طريقة secant

يجد جذرًا لوظيفة أحادية المتغير F (x) مع إعطاء قيمتين فريدتين لبدء. تحتوي هذه الطريقة على معدل تقارب أقل قليلاً (يساوي النسبة الذهبية) ولكن لا تقوم سوى بوظيفة واحدة بالاتصال لكل تكرار مما يجعل وقت الجدار أقل في بعض الأحيان من أساليب نيوتن رافسون.

متعدد المتغيرات

طريقة نيوتن رافسون (مع وبدون اختلافات محدودة)

بالنسبة للدالة f: rn → rn ، تجد هذه الطريقة x بحيث تكون f (x) هو متجه الصفر ، وهو ما يعادل حل نظام المعادلات n مع n غير معروفة.

هناك نسختان من هذه الطريقة ، يتطلب المرء أن يتم إعطاء مصفوفة يعقوب والآخر يقاربها باستخدام الاختلافات المحدودة. الإصدار الأخير ، لذلك ، وقت جدار أطول قليلا. تتطلب كلتا الطريقتين تخمينًا أوليًا.

لبعض المشكلات السيئة ، ستفشل هذه الطريقة. للحصول على طريقة أبطأ ولكن أكثر قوة ، راجع طريقة Levenberg-Marquardt أدناه.

طريقة Gauss-Newton (مع وبدون اختلافات محدودة)

بالنسبة للدالة F: RM → RN ، تجد هذه الطريقة x بحيث يكون F (x) هو متجه الصفر ، وهو ما يعادل حل نظام المعادلات n مع m غير معروفة. يتم ذلك عن طريق حل مشكلة مربعة في كل تكرار مما يجعل وقت جدار هذه الطريقة أطول قليلاً من طريقة نيوتن رافسون.

هناك نسختان من هذه الطريقة ، يتطلب المرء أن يتم إعطاء مصفوفة يعقوب والآخر يقاربها باستخدام الاختلافات المحدودة. الإصدار الأخير ، لذلك ، وقت جدار أطول قليلا. تتطلب كلتا الطريقتين تخمينًا أوليًا.

لبعض المشكلات السيئة ، ستفشل هذه الطريقة. للحصول على طريقة أبطأ ولكن أكثر قوة ، راجع طريقة Levenberg-Marquardt أدناه.

طريقة Levenberg-Marquardt (مع وبدون اختلافات محدودة)

بالنسبة للدالة F: RM → RN ، تجد هذه الطريقة x بحيث يكون F (x) هو متجه الصفر ، وهو ما يعادل حل نظام المعادلات n مع m غير معروفة. يتم ذلك عن طريق حل مشكلة مربعة أقل مربعًا (حساب أكبر من مشكلة المربع المعتاد) في كل تكرار مما يجعل وقت جدار هذه الطريقة أطول قليلاً من طريقة Gauss-Newton.

هناك نسختان من هذه الطريقة ، يتطلب المرء أن يتم إعطاء مصفوفة يعقوب والآخر يقاربها باستخدام الاختلافات المحدودة. الإصدار الأخير ، لذلك ، وقت جدار أطول قليلا. تتطلب كلتا الطريقتين تخمينًا أوليًا.

المُحسن العالميين للوظائف الموضوعية

تحسين سرب الجسيمات

للحصول على وظيفة f: rn → r ، تجد هذه الطريقة x بحيث f (x) <= f (y) لجميع y ، أي الحد الأدنى العالمي. تتطلب هذه الطريقة تخمينًا أوليًا موجودًا يوجد الحد الأدنى العالمي.

استخدم هذه الطريقة إذا كنت تعرف حدود المعلمات.

طريقة التبادلية

للحصول على وظيفة f: rn → r ، تجد هذه الطريقة x بحيث f (x) <= f (y) لجميع y ، أي الحد الأدنى العالمي. تتطلب هذه الطريقة تخمينًا أوليًا وناقل RN من الانحرافات المعيارية (عدم اليقين في كل معلمة).

استخدم هذه الطريقة إذا كنت لا تعرف حدود المعلمات ولكن تعرف على مدى عدم اليقين في كل معلمة.

المعادلات التفاضلية العادية (أو أنظمةها)

هناك struct واحدة للمعادلات التفاضلية العادية (ODE) يمكن تعديلها (باستخدام نمط البناء) لاستخدام إحدى طرق الخطوة التالية:

أولر إلى الأمام

تتطلب هذه الطريقة مكالمة واحدة إلى الوظيفة المقابلة للمعادلة وبالتالي فهي سريعة. ومع ذلك ، لديها ترتيب دقة 1 وهو غير مستقر لبعض الوظائف.

طريقة هيون (Runge-Kutta 2)

تتطلب هذه الطريقة مكالمتين إلى الوظيفة المقابلة للمعادلة ، وبالتالي فهي أبطأ من Euler إلى الأمام. هذه الطريقة لديها ترتيب دقة 2.

Runge-Kutta 4 (افتراضي)

تتطلب هذه الطريقة أربع مكالمات إلى الوظيفة المقابلة للمعادلة وبالتالي فهي أبطأ من طريقة هيون. تحتوي هذه الطريقة على ترتيب دقة 4. يستخدم Ode Solver هذه الطريقة باعتبارها الافتراضي.

أمثلة

مثال على طريقة نيوتن رافسون مع الاختلافات المحدودة.

 use eqsolver :: single_variable :: FDNewton ;

let f = | x : f64 | x . exp ( ) - 1. /x ; // e^x = 1/x
let solution = FDNewton :: new ( f ) . solve ( 0.5 ) ; // Starting guess is 0.5

مثال على طريقة نيوتن رافسون مع اختلافات محدودة لنظام المعادلات

 use eqsolver :: multivariable :: MultiVarNewtonFD ;
use nalgebra :: { vector , Vector2 } ;

// Want to solve x^2 - y = 1 and xy = 2
let f = | v : Vector2 < f64 > | vector ! [ v [ 0 ] . powi ( 2 ) - v [ 1 ] - 1. , v [ 0 ] * v [ 1 ] - 2. ] ;

let solution = MultiVarNewtonFD :: new ( f ) . solve ( vector ! [ 1. , 1. ] ) ; // Starting guess is (1, 1)

مثال على الحل ل odes من الدرجة الأولى واحدة

 use eqsolver :: ODESolver ;

let f = | t : f64 , y : f64 | t * y ; // y' = f(t, y) = ty
let ( x0 , y0 ) = ( 0. , 0.2 ) ;
let x_end = 2. ;
let step_size = 1e-3 ;

let solution = ODESolver :: new ( f , x0 , y0 , step_size ) . solve ( x_end ) ;

مثال على حل مشكلة غير خطي أقل مربعًا مع طريقة Levenberg-Marquardt

 use eqsolver :: multivariable :: LevenbergMarquardtFD ;
use nalgebra :: { vector , Vector2 } ;

let c0 = [ 3. , 5. , 3. ] ;
let c1 = [ 1. , 0. , 4. ] ;
let c2 = [ 6. , 2. , 2. ] ;

// Function from R2 to R3
let f = | v : Vector2 < f64 > | {
    vector ! (
        ( v [ 0 ] - c0 [ 0 ] ) . powi ( 2 ) + ( v [ 1 ] - c0 [ 1 ] ) . powi ( 2 ) - c0 [ 2 ] * c0 [ 2 ] ,
        ( v [ 0 ] - c1 [ 0 ] ) . powi ( 2 ) + ( v [ 1 ] - c1 [ 1 ] ) . powi ( 2 ) - c1 [ 2 ] * c1 [ 2 ] ,
        ( v [ 0 ] - c2 [ 0 ] ) . powi ( 2 ) + ( v [ 1 ] - c2 [ 1 ] ) . powi ( 2 ) - c2 [ 2 ] * c2 [ 2 ] ,
    )
} ;

let solution_lm = LevenbergMarquardtFD :: new ( f )
    . solve ( vector ! [ 4.5 , 2.5 ] ) // Guess
    . unwrap ( ) ;

مثال على استخدام المُحسن العالميين على وظيفة Rastrigin

 use eqsolver :: global_optimisers :: { CrossEntropy , ParticleSwarm } ;
use nalgebra :: SVector ;
use std :: f64 :: consts :: PI ;

const SIZE : usize = 10 ;
let rastrigin = | v : SVector < f64 , SIZE > | {
    v . fold ( 10. * SIZE as f64 , |acc , x| {
        acc + x * x - 10. * f64 :: cos ( 2. * PI * x )
    } )
} ;

let bounds = SVector :: repeat ( 10. ) ;
let standard_deviations = SVector :: repeat ( 10. ) ;
let guess = SVector :: repeat ( 5. ) ;

let opt_pso = ParticleSwarm :: new ( rastrigin , -bounds , bounds ) . solve ( guess ) ;
let opt_ce = CrossEntropy :: new ( rastrigin )
    . with_std_dev ( standard_deviations )
    . solve ( guess ) ;

لمزيد من الأمثلة ، يرجى الاطلاع على دليل الأمثلة.