eqsolver

eqsolver : una biblioteca de solucionador de ecuaciones y optimización para óxido

Esta biblioteca de óxido está dirigida a resolver ecuaciones numéricamente y optimizar las funciones objetivas.

La biblioteca se mantiene pasivamente , lo que significa que no se agregarán otras características. Sin embargo, los problemas en el GitHub serán respondidos y resueltos.

¡Las contribuciones y los comentarios a esta biblioteca son más que bienvenidos!

Métodos compatibles

Los siguientes métodos están disponibles para usar en la biblioteca. Sus descripciones utilizan el dominio y el codomain más grande posible para las funciones, que es RN. Sin embargo, cualquier subconjunto (bienestar) de RN también funciona. Además, los métodos que utilizan entrada o salida multivariada utilizan en gran medida la biblioteca de álgebra lineal para Rust Nalgebra.

Variable única

Método de Newton-Raphson

Encuentra una raíz de una función univariada f (x) dada su derivada df (x) y una suposición inicial. Este método tiene una velocidad cuadrática de convergencia.

El método de Newton-Raphson con diferencias finitas

Encuentra una raíz de una función univariada f (x) al aproximar su derivado DF (x) usando diferencias finitas, dada una suposición inicial de la raíz. Este método tiene una velocidad cuadrática de convergencia, pero requiere un poco más de cálculo que la versión de diferencia no finita, lo que hace que el tiempo de pared sea un poco más largo.

Método secante

Encuentra una raíz de una función univariada f (x) dada dos valores iniciales únicos. Este método tiene una tasa de convergencia ligeramente más baja (igual a la relación dorada), pero solo una llamada de función por iteración, lo que hace que su tiempo de pared sea a veces más bajo que los métodos Newton-Raphson.

Multivariado

El método de Newton-Raphson (con y sin diferencias finitas)

Para una función F: RN → RN, este método encuentra x tal que F (x) es el vector cero, que es equivalente a resolver un sistema de n ecuaciones con n incógnitas.

Hay dos versiones de este método, uno requiere que se administre la matriz jacobiana y la otra la aproxima utilizando diferencias finitas. La última versión tiene, por lo tanto, un tiempo de pared un poco más largo. Ambos métodos requieren una suposición inicial.

Para ciertos problemas mal plenados, este método fallará. Para un método más lento pero más robusto, consulte el método Levenberg-Marquardt a continuación.

Método de Gauss-Newton (con y sin diferencias finitas)

Para una función F: RM → RN, este método encuentra x tal que F (x) es el vector cero, que es equivalente a resolver un sistema de n ecuaciones con m incógnitas. Esto se hace resolviendo un problema de mínimos cuadrados en cada iteración, lo que hace que el tiempo de pared de este método sea un poco más largo que el método de Newton-Raphson.

Hay dos versiones de este método, uno requiere que se administre la matriz jacobiana y la otra la aproxima utilizando diferencias finitas. La última versión tiene, por lo tanto, un tiempo de pared un poco más largo. Ambos métodos requieren una suposición inicial.

Para ciertos problemas mal plenados, este método fallará. Para un método más lento pero más robusto, consulte el método Levenberg-Marquardt a continuación.

Método de Levenberg-Marquardt (con y sin diferencias finitas)

Para una función F: RM → RN, este método encuentra x tal que F (x) es el vector cero, que es equivalente a resolver un sistema de n ecuaciones con m incógnitas. Esto se hace resolviendo un problema de mínimos cuadrados amortiguados (más cálculo que el problema de mínimos cuadrados habituales) en cada iteración, lo que hace que el tiempo de pared de este método sea un poco más largo que el método de Gauss-Newton.

Hay dos versiones de este método, uno requiere que se administre la matriz jacobiana y la otra la aproxima utilizando diferencias finitas. La última versión tiene, por lo tanto, un tiempo de pared un poco más largo. Ambos métodos requieren una suposición inicial.

Optimizadores globales de funciones objetivas

Optimización del enjambre de partículas

Para una función f: rn → r, este método encuentra x tal que f (x) <= f (y) para todas las y, es decir, el mínimo global. Este método requiere una suposición y límites iniciales para los cuales existe el mínimo global.

Use este método si conoce los límites de los parámetros.

Método de entropía cruzada

Para una función f: rn → r, este método encuentra x tal que f (x) <= f (y) para todas las y, es decir, el mínimo global. Este método requiere una suposición inicial y un vector RN de desviaciones estándar (incertidumbre de cada parámetro).

Use este método si no conoce los límites de los parámetros, pero sepa cuán incierto es cada parámetro.

Ecuaciones diferenciales ordinarias (o sistemas de ellas)

Hay una sola struct para las ecuaciones diferenciales ordinarias (ODE) que se puede modificar (usando el patrón de constructor) para usar uno de los siguientes métodos de paso:

Delantero de Euler

Este método requiere una llamada a la función correspondiente a la ecuación y, por lo tanto, es rápido. Sin embargo, tiene un orden de precisión de 1 y es inestable para ciertas funciones.

Método de Heun (Runge-Kutta 2)

Este método requiere dos llamadas a la función correspondiente a la ecuación y, por lo tanto, es más lento que Euler hacia adelante. Este método tiene un orden de precisión de 2.

Runge-Kutta 4 (predeterminado)

Este método requiere cuatro llamadas a la función correspondiente a la ecuación y, por lo tanto, es más lento que el método de Heun. Este método tiene un orden de precisión de 4. El solucionador ODE utiliza este método como predeterminado.

Ejemplos

Ejemplo del método de Newton-Raphson con diferencias finitas.

 use eqsolver :: single_variable :: FDNewton ;

let f = | x : f64 | x . exp ( ) - 1. /x ; // e^x = 1/x
let solution = FDNewton :: new ( f ) . solve ( 0.5 ) ; // Starting guess is 0.5

Ejemplo del método de Newton-Raphson con diferencias finitas para el sistema de ecuaciones

 use eqsolver :: multivariable :: MultiVarNewtonFD ;
use nalgebra :: { vector , Vector2 } ;

// Want to solve x^2 - y = 1 and xy = 2
let f = | v : Vector2 < f64 > | vector ! [ v [ 0 ] . powi ( 2 ) - v [ 1 ] - 1. , v [ 0 ] * v [ 1 ] - 2. ] ;

let solution = MultiVarNewtonFD :: new ( f ) . solve ( vector ! [ 1. , 1. ] ) ; // Starting guess is (1, 1)

Ejemplo de solución para una sola ODES de primer orden

 use eqsolver :: ODESolver ;

let f = | t : f64 , y : f64 | t * y ; // y' = f(t, y) = ty
let ( x0 , y0 ) = ( 0. , 0.2 ) ;
let x_end = 2. ;
let step_size = 1e-3 ;

let solution = ODESolver :: new ( f , x0 , y0 , step_size ) . solve ( x_end ) ;

Ejemplo de resolver un problema de mínimo cuadrado no lineal con el método Levenberg-Marquardt

 use eqsolver :: multivariable :: LevenbergMarquardtFD ;
use nalgebra :: { vector , Vector2 } ;

let c0 = [ 3. , 5. , 3. ] ;
let c1 = [ 1. , 0. , 4. ] ;
let c2 = [ 6. , 2. , 2. ] ;

// Function from R2 to R3
let f = | v : Vector2 < f64 > | {
    vector ! (
        ( v [ 0 ] - c0 [ 0 ] ) . powi ( 2 ) + ( v [ 1 ] - c0 [ 1 ] ) . powi ( 2 ) - c0 [ 2 ] * c0 [ 2 ] ,
        ( v [ 0 ] - c1 [ 0 ] ) . powi ( 2 ) + ( v [ 1 ] - c1 [ 1 ] ) . powi ( 2 ) - c1 [ 2 ] * c1 [ 2 ] ,
        ( v [ 0 ] - c2 [ 0 ] ) . powi ( 2 ) + ( v [ 1 ] - c2 [ 1 ] ) . powi ( 2 ) - c2 [ 2 ] * c2 [ 2 ] ,
    )
} ;

let solution_lm = LevenbergMarquardtFD :: new ( f )
    . solve ( vector ! [ 4.5 , 2.5 ] ) // Guess
    . unwrap ( ) ;

Ejemplo del uso de optimizadores globales en la función Rastrigin

 use eqsolver :: global_optimisers :: { CrossEntropy , ParticleSwarm } ;
use nalgebra :: SVector ;
use std :: f64 :: consts :: PI ;

const SIZE : usize = 10 ;
let rastrigin = | v : SVector < f64 , SIZE > | {
    v . fold ( 10. * SIZE as f64 , |acc , x| {
        acc + x * x - 10. * f64 :: cos ( 2. * PI * x )
    } )
} ;

let bounds = SVector :: repeat ( 10. ) ;
let standard_deviations = SVector :: repeat ( 10. ) ;
let guess = SVector :: repeat ( 5. ) ;

let opt_pso = ParticleSwarm :: new ( rastrigin , -bounds , bounds ) . solve ( guess ) ;
let opt_ce = CrossEntropy :: new ( rastrigin )
    . with_std_dev ( standard_deviations )
    . solve ( guess ) ;

Para obtener más ejemplos, consulte el directorio de ejemplos.