سيمنحك محرر Downcodes فهمًا متعمقًا للخوارزميات الأساسية الخمس لخوارزمية تحويل فورييه السريع (FFT): خوارزمية Cooley-Tukey، وخوارزمية العامل الرئيسي، وخوارزمية Bluestein's chirp-z، وخوارزمية فرق تسد، وخوارزمية خوارزمية الفراشة. تُستخدم خوارزمية FFT على نطاق واسع في معالجة الإشارات ومعالجة الصور والمجالات الأخرى. وتأتي كفاءتها من تحلل DFT المعقد إلى مشكلات فرعية أصغر في DFT، وبالتالي تقليل مقدار العمليات الحسابية. ستتناول هذه المقالة بالتفصيل المبادئ والخصائص والسيناريوهات القابلة للتطبيق لهذه الخوارزميات الخمس لمساعدتك على فهم الآلية الأساسية لخوارزمية FFT بشكل أفضل واختيار الخوارزمية التي تناسب احتياجاتك.
تتضمن خوارزميات تحويل فورييه السريع (FFT) بشكل أساسي خوارزمية Cooley-Tukey، وخوارزمية العامل الرئيسي، وخوارزمية Bluestein's chirp-z، وخوارزمية فرق تسد، وخوارزمية الفراشة. من بينها، تعد خوارزمية Cooley-Tukey هي خوارزمية FFT الأكثر شهرة واستخدامًا على نطاق واسع - فهي تحلل تحويل فورييه المنفصل (DFT) إلى DFTs أصغر بشكل متكرر أو متكرر لتقليل التعقيد الحسابي.
من بين العديد من الخوارزميات لتحويل فورييه السريع، أصبحت خوارزمية Cooley-Tukey حجر الزاوية في عائلة خوارزمية FFT نظرًا لقابليتها للتطبيق على نطاق واسع وأدائها الفعال. إنه يقلل بشكل أساسي من التعقيد الزمني لحساب DFT من خلال التحلل.
ملخص:
الفكرة الأساسية هي تحليل DFT من N-point إلى عدة مهام DFT أصغر، ثم يتم تحليل DFTs الصغيرة هذه بشكل متكرر بنفس الطريقة حتى يلزم حساب DFTs المكون من نقطتين فقط. تقلل هذه العملية بشكل كبير من عدد الضربات والإضافات، وبالتالي تحسين الكفاءة الحسابية.
تنفيذ التجزئة:
إحدى طرق تنفيذ خوارزمية Cooley-Tukey هي ما يسمى "عملية الفراشة"، والتي تقسم البيانات إلى جزء مفهرس زوجي وجزء مفهرس فردي عند كل تحليل ومعالجتها بشكل منفصل. تعمل هذه الخوارزمية عندما تكون N قوة 2.
تعد خوارزمية العامل الرئيسي (المعروفة أيضًا باسم خوارزمية Good-Thomas) فرعًا مهمًا آخر من خوارزمية تحويل فورييه السريعة وهي مناسبة للمواقف التي يمكن فيها تحليل عدد نقاط العينة N التي تمت معالجتها إلى عدة عوامل coprime.
سمات:
تستفيد الخوارزمية من الخاصية التي يمكن من خلالها تحليل DFT ذو النقطة N إلى منتج نقطة عامل DFT الخاصة بها. تسمح هذه الطريقة بالنظر في هذه العوامل الأولية المتبادلة في وقت واحد، مما يوفر طريقة حسابية فعالة لتلك العوامل DFT التي لا تتمتع بقدرة 2.
تفاصيل العملية:
لا تتطلب خوارزمية العامل الرئيسي إعادة ترتيب البيانات، وهي إحدى ميزاتها الرئيسية التي تميزها عن خوارزميات FFT الأخرى. تتطلب الخوارزمية ترتيبات فهرسة خاصة عند التنفيذ لضمان إمكانية حساب DFT لكل عامل بشكل مستقل.
عندما لا يكون عدد نقاط العينة N قوة 2، فإن خوارزمية Bluestein's chirp-z توفر طريقة حساب FFT فعالة أخرى.
وصف الخوارزمية:
تقوم هذه الخوارزمية بتحويل طول DFT التعسفي إلى مشكلة تلافي أطول قليلاً من قوتين، والتي يمكن حلها بكفاءة بواسطة خوارزمية Cooley-Tukey. تعد خوارزمية chirp-z الخاصة بـ Bluestein مناسبة بشكل خاص للتعامل مع DFTs ذات الطول الأولي لأنها لا تعتمد على تسلسل حسابات DFT الصغيرة.
عملية الحساب:
يقوم بحساب DFT المطلوب عن طريق إدخال ما يسمى بإشارة "chirp" وضربها بالإشارة الأصلية، ومن ثم من خلال نظرية الالتواء وتقنية الالتواء السريع. يتيح ذلك حسابًا فعالاً لـ DFTs ذات الأطوال التعسفية.
خوارزمية فرق تسد هي فكرة خوارزمية يستخدم تنفيذها في FFT بشكل أساسي طريقة فرق تسد العودية لتحليل المشكلات الكبيرة إلى مشكلات صغيرة لحلها.
تحليل:
في سياق تحويل فورييه السريع، غالبًا ما تُستخدم خوارزمية فرق تسد لتحل محل خوارزمية Cooley-Tukey في بعض الحالات المحددة، خاصة عندما يكون N ذو شكل خاص. يمكن أن يكون تنفيذه أنيقًا للغاية، مما يسمح بالمعالجة المتوازية والاستفادة من ذاكرة التخزين المؤقت السريعة للمعالجات الحديثة.
خطوات التنفيذ:
يقوم أولاً بتحليل مشكلة DFT ذات النقطة N إلى عدة مهام فرعية أصغر، ثم يحل هذه المهام الفرعية واحدة تلو الأخرى، وفي النهاية يدمج نتائج المهام الفرعية للحصول على نتيجة DFT النهائية. يستمر التكرار حتى تصبح المشكلة الأساسية قابلة للحساب مباشرة.
تشير خوارزمية الفراشة إلى خطوات التشغيل المحددة المستخدمة لحساب DFT في عملية FFT، وتظهر بأشكال مختلفة في العديد من خوارزميات FFT.
المفاهيم الأساسية:
تعكس خوارزمية الفراشة بشكل حدسي تحسين حساب FFT. تمت تسمية "الفراشة" على اسم بنية الإدخال المزدوج والمخرج المزدوج الخاصة في الرسم البياني لتدفق البيانات. في خوارزمية Cooley-Tukey FFT، تعتبر عملية الفراشة ذات أهمية خاصة.
تفاصيل العملية:
تتضمن خوارزمية الفراشة دمج وتحديث نقطتي بيانات يتم اختيار هذه النقاط وفق قواعد معينة، ويتم تحويل إشارة المجال الزمني إلى المجال الترددي من خلال عمليات الجمع والطرح والضرب لعوامل الدوران. أخيرًا، من خلال تراكب بنية الفراشة طبقة تلو الأخرى، يتم تقليل DFT واسع النطاق والمعقد إلى DFT صغير الحجم يمكن التحكم فيه.
تتمتع كل من خوارزميات FFT المذكورة أعلاه بسيناريوهاتها الفريدة القابلة للتطبيق ومزايا الحوسبة، وتستخدم على نطاق واسع في معالجة الإشارات ومعالجة الصور وأي مجال يتطلب تحويل فورييه. يعد اختيار وتنفيذ خوارزمية FFT الصحيحة أمرًا بالغ الأهمية للتطبيقات التي تتطلب الأداء.
1. ما هي خوارزميات تحويل فورييه السريع (FFT) شائعة الاستخدام؟
تحويل فورييه السريع (FFT) عبارة عن مجموعة من الخوارزميات لحساب تحويل فورييه المنفصل (DFT) بكفاءة. تشمل خوارزميات تحويل فورييه السريعة شائعة الاستخدام ما يلي:
خوارزمية Cooley-Tukey: هذه هي خوارزمية FFT الأكثر استخدامًا، والتي تقوم بتحليل DFT إلى منتج اثنين من DFTs الأصغر حجمًا وتستغل دوريتها لإجراء عمليات حسابية متكررة. خوارزمية Radix-2: تقوم هذه الخوارزمية بتحليل DFT إلى عدة DFTs بطول 2، ثم تستخدم خصائص FFT لإجراء حسابات فعالة. خوارزمية Split-Radix: تشبه خوارزمية Radix-2، ولكن باستخدام ترتيب تحليل وحساب مختلف لحساب DFT بشكل أكثر كفاءة. خوارزمية Bluestein: تقوم هذه الخوارزمية بتحويل حساب DFT إلى حساب الالتواء عن طريق إدخال تسلسل مساعد بطول N، وبالتالي تحقيق حساب فعال.2. ما هي مجالات تطبيق خوارزمية FFT؟
تتمتع خوارزمية تحويل فورييه السريع (FFT) بتطبيقات واسعة في العديد من المجالات، بما في ذلك:
معالجة الإشارات: تُستخدم خوارزمية FFT بشكل شائع لتحليل مجال التردد وتصفية الإشارات مثل معالجة الصوت والصورة والفيديو. أنظمة الاتصالات: تلعب خوارزميات FFT دورًا رئيسيًا في أنظمة الاتصالات مثل OFDM (تعدد الإرسال بتقسيم التردد المتعامد) وتستخدم في التعديل وإزالة التشكيل وتحليل طيف الإشارات. معالجة الصور: يمكن استخدام خوارزمية FFT لمهام معالجة الصور مثل ضغط الصورة وتقليل الضوضاء وتحويل الصورة. تصميم المرشح الرقمي: يمكن استخدام خوارزمية FFT لتصميم المرشحات الرقمية وتنفيذها، بما في ذلك مرشحات التمرير المنخفض، والتمرير العالي، وتمرير النطاق، وإيقاف النطاق، وما إلى ذلك. الحوسبة العلمية: تستخدم خوارزمية FFT على نطاق واسع في مجال الحوسبة العلمية، مثل حل المعادلات التفاضلية العادية والتكامل العددي وإعادة بناء الإشارة وما إلى ذلك.3. كيفية اختيار خوارزمية FFT المناسبة؟
لاختيار خوارزمية FFT مناسبة، يمكنك مراعاة العوامل التالية:
طول تسلسل الإدخال: خوارزميات FFT المختلفة لها متطلبات مختلفة لطول تسلسل الإدخال، ويمكن اختيار الخوارزمية المناسبة بناءً على طول تسلسل الإدخال. تعقيد الخوارزمية: تختلف خوارزميات FFT المختلفة في التعقيد الحسابي وقد تتطلب تسلسلات الإدخال الأكبر خوارزميات أكثر كفاءة لزيادة سرعة الحساب. البيئة المضمنة: إذا تم استخدام خوارزمية FFT في نظام مضمن، فيجب مراعاة عوامل مثل الذاكرة المتوفرة وسرعة المعالج واستهلاك الطاقة للخوارزمية. متطلبات التطبيق: بناءً على متطلبات التطبيق المحددة، حدد خوارزمية FFT يمكنها تلبية متطلبات الأداء والدقة.آمل أن تساعدك هذه المقالة على فهم خوارزمية تحويل فورييه السريع (FFT) واتخاذ الاختيار الصحيح في تطبيقك العملي. سيستمر محرر Downcodes في تقديم المزيد من المحتوى المثير لك!